Chúng ta sẽ giải quyết từng bài một.

**Bài 9:**

Cho tập hợp \( A = (-\infty; m + 1] \). Để tìm tham số \( m \) sao cho \( A \cap [-3; +\infty) \neq \emptyset \), chúng ta cần điều kiện để hai tập hợp này có phần giao nhau.

Tập hợp \( A \) chứa tất cả các số thực nhỏ hơn hoặc bằng \( m + 1 \), tức là \( A \) sẽ cắt với đoạn \( [-3; +\infty) \) khi phần lớn số thuộc \( A \) cũng thuộc \( [-3; +\infty) \).

Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm giá trị của \( m + 1 \) sao cho \( m + 1 \) lớn hơn hoặc bằng \(-3\):

\[
m + 1 \geq -3
\]

Giải bất phương trình này:

\[
m \geq -3 - 1
\]

\[
m \geq -4
\]

Vậy tham số \( m \) cần thoả mãn để \( A \cap [-3; +\infty) \neq \emptyset \) là:

\[
m \geq -4
\]

---

**Bài 10:**

Cho hai tập hợp \( A = [0; 5] \) và \( B = [2a; 3a + 1] \) với điều kiện \( a > -1 \). Chúng ta cần tìm tất cả các giá trị của \( a \) sao cho \( A \cap B \neq \emptyset \).

Điều kiện để hai tập hợp này có giao nhau là tồn tại ít nhất một số \( x \) sao cho \( x \in A \) và \( x \in B \). Suy ra, \( B \) phải có ít nhất một phần nằm trong khoảng \( [0; 5] \).

Ta có hai trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** Ký hiệu \( 2a \leq 5 \)
\[
2a \leq 5 \implies a \leq \frac{5}{2}
\]

2. **Trường hợp 2:** Ký hiệu \( 3a + 1 \geq 0 \) (để \( B \) không hoàn toàn nằm bên trái của \( A \))
\[
3a + 1 \geq 0 \implies 3a \geq -1 \implies a \geq -\frac{1}{3}
\]

Kết hợp các điều kiện, ta có:
\[
-\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{5}{2}
\]

Hơn nữa, cần lưu ý điều kiện \( a > -1 \), vì vậy điều này không ảnh hưởng đến khoảng \( a \).

Vậy tất cả các giá trị của \( a \) sao cho \( A \cap B \neq \emptyset \) là:

\[
-\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{5}{2}
\]

Như vậy, ta có kết quả cuối cùng cho bài 10:

\[
a \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{5}{2}\right]
\]