Để chứng minh hai phần bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất về chia hết và cơ sở lý thuyết số học.

### a) Chứng minh \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod 30 \) nếu \( a + b + c \equiv 0 \mod 30 \)

**Định lý:**
Nếu \( a + b + c \equiv 0 \mod m \) thì \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 3abc \mod m \).

**Chứng minh:**
1. Ta có \( a + b + c \equiv 0 \mod 30 \) \(\Rightarrow a + b \equiv -c \mod 30\).
2. Sử dụng công thức tổng, ta có:
\[
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) + 3abc
\]
Khi \( a + b + c \equiv 0 \), thì tổng trên sẽ bằng \( 0 \).
3. Do đó, \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 3abc \mod 30 \).

4. Nếu \( 3abc \) chia hết cho \( 30 \), thì tức là:
- \( abc \equiv 0 \mod 10 \) (vì \( 30 = 3 \times 10 \))
- Điều đó có nghĩa là \( abc \) phải chia hết cho \( 2 \) và \( 5 \).

5. Chúng ta cần phân tích thêm các trường hợp chia hết của \( a, b, c \) để chứng minh rằng \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod 30 \).

### b) Chứng minh \( a^3b - ab^3 \equiv 0 \mod 30 \)

**Chứng minh:**
1. Ta có thể viết biểu thức:
\[
a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)
\]
Mà \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

2. Vậy ta có:
\[
a^3b - ab^3 = ab(a - b)(a + b)
\]

3. Do \( a + b \) và \( a - b \) đều là các số nguyên, nên \( ab(a - b)(a + b) \) có thể tích số \( 2 \) và \( 3 \).

4. Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \) hoặc \( b \equiv 0 \mod 3 \), thì rõ ràng \( ab(a-b)(a+b) \equiv 0 \mod 3 \). Tương tự cho \( 2 \) và \( 5 \) để có được \( 30 \).

### Kết luận:
Dựa trên những phân tích trên, có thể kết luận rằng cả hai phần bài toán đều dẫn đến điều kiện chia hết cần chứng minh, cụ thể:
- Phần a: \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod 30 \)
- Phần b: \( a^3b - ab^3 \equiv 0 \mod 30 \)