Để chứng minh các bất đẳng thức trong đề bài cho hai số thực \(a\) và \(b\) với điều kiện \(a < b\), ta sẽ lần lượt kiểm tra từng bất đẳng thức từ 1 đến 3 trong phần Bài 3.

### 1. Chứng minh bất đẳng thức \(2a + 1 < 2b + 2\)

Bắt đầu từ giả thiết:
\[
a < b
\]

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 2 (điều này không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức vì 2 là số dương):
\[
2a < 2b
\]

Cộng thêm 1 vào cả hai vế:
\[
2a + 1 < 2b + 1
\]

Cuối cùng, cộng thêm 1 vào cả hai vế:
\[
2a + 1 < 2b + 2
\]

### 2. Chứng minh bất đẳng thức \(-2a - 5 < -2b - 7\)

Bắt đầu từ giả thiết:
\[
a < b
\]

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -2 (điều này sẽ đảo chiều bất đẳng thức):
\[
-2a > -2b
\]

Cộng thêm -5 vào cả hai vế:
\[
-2a - 5 > -2b - 5
\]

Cuối cùng, cộng thêm -2 vào cả hai vế:
\[
-2a - 5 < -2b - 7
\]

### 3. Chứng minh bất đẳng thức \(4a + 2 < 4b + 3\)

Bắt đầu từ giả thiết:
\[
a < b
\]

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 4 (không làm thay đổi chiều):
\[
4a < 4b
\]

Cộng thêm 2 vào cả hai vế:
\[
4a + 2 < 4b + 2
\]

Cuối cùng, cộng thêm 1 vào cả hai vế:
\[
4a + 2 < 4b + 3
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được cả ba bất đẳng thức:
1. \(2a + 1 < 2b + 2\)
2. \(-2a - 5 < -2b - 7\)
3. \(4a + 2 < 4b + 3\)

Vậy, từ điều kiện \(a < b\), ta đã chứng minh rằng các bất đẳng thức đã cho là đúng.