Để chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **Xác định điểm E**:
E là điểm đối xứng với A qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo định nghĩa điểm đối xứng, có:
\[
AI = IE.
\]

2. **Xác định các cạnh của tứ giác BHCE**:
Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
BH = CE \quad \text{và} \quad BE = HC.
\]

3. **Chứng minh BH = CE**:
Bởi vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp, nên điểm I nằm trên đường trung bình nối các đỉnh của tam giác ABC và tâm ngoại tiếp. Như vậy, điểm B và H sẽ có liên kết với điểm C và điểm E (do sự đối xứng của điểm A qua điểm I).

Dễ nhận thấy rằng góc BHI = góc EHC vì các điểm này nằm trong cùng một đường tròn. Do đó:
\[
BH \parallel CE.
\]

4. **Chứng minh BE = HC**:
Tương tự, chúng ta có:
\[
BE \parallel HC,
\]
Vì hai đoạn thẳng này đều tạo thành hai cặp góc đối diện từ ba điểm liên quan đến tâm đường tròn ngoại tiếp.

5. **Kết luận**:
Với việc BH || CE và BE || HC, điều này chứng minh rằng tứ giác BHCE là một hình bình hành, vì hai cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song với nhau.

Vậy tứ giác BHCE là hình bình hành.