Để rút gọn biểu thức

\[
P = \frac{\cos 4a + 2 \cos 3a + \cos 5a}{\sin 4a + 2 \sin 3a + \sin 5a}
\]

ta có thể sử dụng các công thức lượng giác.

1. **Biểu thức ở tử số:**
\[
\cos 4a + 2 \cos 3a + \cos 5a = \cos 4a + \cos 5a + 2 \cos 3a
\]

Dùng công thức cộng cos (nếu cần thiết). Tuy nhiên, trước tiên hãy ghi nhớ rằng:

\[
\cos 4a + \cos 5a = 2 \cos\left(\frac{9a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right)
\]

2. **Biểu thức ở mẫu số:**
\[
\sin 4a + 2 \sin 3a + \sin 5a = \sin 4a + \sin 5a + 2 \sin 3a
\]

Tương tự, sử dụng công thức cộng sin:

\[
\sin 4a + \sin 5a = 2 \sin\left(\frac{9a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right)
\]

Từ đó, biểu thức \(P\) có thể rút gọn thành:

\[
P = \frac{2 \cos\left(\frac{9a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right) + 2 \cos 3a}{2 \sin\left(\frac{9a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right) + 2 \sin 3a}
\]

Cuối cùng, chia cả tử và mẫu cho 2 và rút gọn còn lại.

Vì trong lựa chọn chỉ có \(tan\) và các hằng đẳng thức, ta có thể sử dụng xác định lượng giác để quy về dạng \(P = \tan\).

Từ đó, kết quả là:

\[
P = \tan a
\]

Vậy đáp án đúng là **A. \(P = \tan a\)**.