Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2AC = 2a. Tìm tập hợp điểm M sao cho MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 20a^2

Để giải bài toán này, trước hết ta xác định vị trí của các điểm A, B, C trong mặt phẳng.

Giả sử điểm A là gốc tọa độ \( A(0, 0) \). Với \( AB = 2a \) và \( AC = a \), ta có:
- Điểm B nằm trên trục hoành, do đó \( B(2a, 0) \).
- Điểm C nằm trên trục tung, do đó \( C(0, a) \).

Bây giờ, ta cần tìm tập hợp điểm M sao cho:
\[
MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 20a^2.
\]

Đầu tiên, ta xác định các khoảng cách:
- \( MA^2 = x^2 + y^2 \) với \( M(x, y) \).
- \( MB^2 = (x - 2a)^2 + y^2 = x^2 - 4ax + 4a^2 + y^2 \).
- \( MC^2 = x^2 + (y - a)^2 = x^2 + y^2 - 2ay + a^2 \).

Thay các công thức này vào phương trình:
\[
MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 4ax + 4a^2 + y^2) + 2(x^2 + y^2 - 2ay + a^2).
\]

Rút gọn:
\[
MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = x^2 + y^2 + x^2 - 4ax + 4a^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2 - 2ay + a^2) = 5x^2 + 5y^2 - 4ax - 4ay + 6a^2.
\]
Set the above equation equal to \( 20a^2 \):
\[
5x^2 + 5y^2 - 4ax - 4ay + 6a^2 = 20a^2.
\]

Chuyển \( 20a^2 \) sang vế trái:
\[
5x^2 + 5y^2 - 4ax - 4ay - 14a^2 = 0.
\]

Chia cả phương trình cho 5, ta có:
\[
x^2 + y^2 - \frac{4}{5}ax - \frac{4}{5}ay - \frac{14}{5}a^2 = 0.
\]

Để viết lại phương trình dưới dạng phương trình của đường tròn, ta nhóm lại và hoàn thành bình phương:
\[
\left(x - \frac{2}{5}a\right)^2 + \left(y - \frac{2}{5}a\right)^2 = \frac{14}{5}a^2 + \left(\frac{2}{5}a\right)^2 + \left(\frac{2}{5}a\right)^2.
\]

Tính toán phần bên phải:
\[
\frac{14}{5}a^2 + \frac{4}{25}a^2 + \frac{4}{25}a^2 = \frac{14}{5}a^2 + \frac{8}{25}a^2 = \frac{70}{25}a^2 + \frac{8}{25}a^2 = \frac{78}{25}a^2.
\]

Vậy, phương trình có dạng:
\[
\left(x - \frac{2}{5}a\right)^2 + \left(y - \frac{2}{5}a\right)^2 = \frac{78}{25}a^2.
\]

Do đó, tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện là một đường tròn có tâm tại \( \left(\frac{2}{5}a, \frac{2}{5}a\right) \) và bán kính \( R = \sqrt{\frac{78}{25}}a = \frac{\sqrt{78}}{5}a \).

Vậy tập hợp điểm M là:
\[
M \text{ nằm trên đường tròn tâm } \left( \frac{2}{5}a, \frac{2}{5}a \right) \text{ có bán kính } \frac{\sqrt{78}}{5}a.
\]