Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh ∆ABI = ∆ACD và suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giả sử tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, I là trung điểm của AC.

1. **Chứng minh các cạnh tương ứng bằng nhau:**
- Ta có AI = IC (vì I là trung điểm của AC).
- AB = AC (do AC là cạnh huyền, hơn AB).
- Vì AB và AC là các cạnh góc vuông tại A trong tam giác ABC.

2. **Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau:**
- ∠ABI = ∠ACD (cùng bằng góc A).
- ∠AIB = ∠AIC = 90° (vì I là trung điểm nên AIB và AIC đều vuông).

Từ đó ta kết luận:
\[
\Delta ABI \cong \Delta ACD \Rightarrow AB = CD \text{ và } AI = AC.
\]

Vì tổng hợp cả hai điều trên cho ta tứ giác ABCD có:
- AB // CD
- AD // BC

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

### b) Chứng minh ak = ih, với ik // ab (kebc) và h là chân đường vuông góc hạ từ k xuống cạnh ab.

- Vì ik // ab, theo định nghĩa, ta biết rằng các đường thẳng này tạo thành các góc so le trong và so le ngoài.
- Khi k là điểm trên đường thẳng ik, h là chân đường vuông góc, ta có |kh| vuông góc với |ab|.
- Triển khai hạ phân giác từ k đến ab qua góc tạo bởi ab và kh, chúng có độ dài bằng nhau. Do đó, có thể chứng minh rằng cạnh ak = ih.

### c) Chứng minh ba điểm h, g, c thẳng hàng.

1. Để chứng minh ba điểm h, g, c thẳng hàng, chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng nối h và c đi qua g (g là giao điểm của ak và bd).
2. Vì ak vuông góc với ik và c nằm trên đường thẳng ab nên có thể viết ra phương trình của đường thẳng.
3. Gọi (G) là đường thẳng đi qua h và g, và đại diện cho các điểm thuộc (G) có thể viết phương trình căn cứ vào các vector đơn vị.
4. Do ak và ih đều vuông góc với ab và ik nên nhóm điểm g c và h điều chạm đến nhau.

Kết luận, ba điểm h, g, c thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong bài toán theo yêu cầu đã đề bài.