Giải tích phân

Để giải tích phân \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x}{\sqrt{5} + 3 \cos x} \, dx \), ta sẽ sử dụng đặt \( t = \sqrt{5} + 3 \cos x \). Dưới đây là bước chi tiết:

1. **Đổi biến**:
- Tính \( dt \):
\[
dt = -3 \sin x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = -\frac{dt}{3 \sin x}
\]
- Khi \( x = 0 \): \( t = \sqrt{5} + 3 \cdot 1 = \sqrt{5} + 3 \)
- Khi \( x = \frac{\pi}{2} \): \( t = \sqrt{5} + 3 \cdot 0 = \sqrt{5} \)

2. **Thay thế vào tích phân**:
\[
I = \int_{\sqrt{5} + 3}^{\sqrt{5}} \frac{2 \sin x}{t} \cdot \left(-\frac{dt}{3 \sin x}\right)
\]
\[
= \frac{2}{3} \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{5} + 3} \frac{1}{t} \, dt
\]

3. **Tính tích phân**:
\[
= \frac{2}{3} \left[ \ln t \right]_{\sqrt{5}}^{\sqrt{5} + 3} = \frac{2}{3} \left( \ln(\sqrt{5} + 3) - \ln(\sqrt{5}) \right)
\]
\[
= \frac{2}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5}} \right)
\]

Vậy tổng kết lại các kết quả trên các lựa chọn và xem đâu là lựa chọn đúng.

---

**Câu 28**: Chúng ta có chuỗi số:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} u_n
\]
và \( E = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} \). Để xác định giá trị của \( E \), ta cần phải biết thêm thông tin về \( u_n \). Nếu \( u_n \) bậc 1 và hội tụ, ta có thể nhận định, nếu không ta cần kiểm tra cụ thể.

Nếu bạn có thêm thông tin hoặc giá trị cụ thể của chuỗi \( u_n \), hãy cung cấp để tôi có thể giúp bạn tốt hơn!