Chúng ta sẽ chứng minh từng bất đẳng thức một cách chi tiết dưới đây.

### Chứng minh bất đẳng thức A:

**Bất đẳng thức:**
\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 4 \geq 2(a + b + c + d) \]

**Chứng minh:**
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[ (1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \geq (a + b + c + d)^2 \]

Số hạng bên trái sẽ là 4 và ta có:

\[ 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \geq (a + b + c + d)^2 \]

Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu, ta cần chỉ ra rằng:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 4 \geq 2(a + b + c + d) \]

Chuyển vế ta có:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2(a + b + c + d) + 4 \geq 0 \]

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng:

\[ (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + (d - 1)^2 \geq 0 \]

Do đó, bất đẳng thức A được chứng minh là đúng.

### Chứng minh bất đẳng thức B:

**Bất đẳng thức:**
\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \]

**Chứng minh:**
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa. Theo Cauchy-Schwarz:

\[ (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \]

Cụ thể:

1. Đặt \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 1 \), ta có:

\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \]

Suy ra, bất đẳng thức B cũng được chứng minh là đúng.

### Chứng minh bất đẳng thức C:

**Bất đẳng thức:**
\[ a^3 + b^3 \geq ab(a + b) \]

**Chứng minh:**
Bất đẳng thức này có thể được viết lại như sau:

\[ a^3 + b^3 - ab(a + b) \geq 0 \]

Ta sẽ sử dụng công thức phân phối cho tổng của hai số mũ ba:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Thay vào bất đương thức ta được:

\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq ab(a + b) \]

Nếu \( a + b \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \( a + b \):

\[ a^2 - ab + b^2 \geq ab \]

Chuyển vế ta có:

\[ a^2 + b^2 \geq 2ab \]

Điều này đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân), ta có:

\[ \frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2} \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab \]

Do đó, bất đẳng thức C được chứng minh là đúng.

Tổng kết:
- Bất đẳng thức A đúng.
- Bất đẳng thức B đúng.
- Bất đẳng thức C đúng.