Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính. Đầu tiên, chúng ta sẽ thiết lập các biến số và ràng buộc theo thông tin đã cho.

### Biến số:

- \( x \): Số kilogram sản phẩm loại I cần sản xuất.
- \( y \): Số kilogram sản phẩm loại II cần sản xuất.

### Hàm mục tiêu:

Mục tiêu của chúng ta là tối đa hóa lợi nhuận, được biểu diễn bằng hàm mục tiêu sau:

\[ Z = 40000x + 30000y \]

### Ràng buộc:

1. **Ràng buộc về thời gian máy**:
- Mỗi kilogram sản phẩm loại I cần 30 giờ.
- Mỗi kilogram sản phẩm loại II cần 15 giờ.
- Tổng thời gian sử dụng máy tối đa là 1200 giờ.
- Do đó, ràng buộc này được viết dưới dạng:
\[
30x + 15y \leq 1200
\]

2. **Ràng buộc về nguyên liệu**:
- Mỗi kilogram sản phẩm loại I cần 2 kilogram nguyên liệu.
- Mỗi kilogram sản phẩm loại II cần 4 kilogram nguyên liệu.
- Tổng nguyên liệu tối đa là 200 kilogram.
- Ràng buộc này được viết là:
\[
2x + 4y \leq 200
\]

3. **Ràng buộc phi âm**:
\[
x \geq 0, \quad y \geq 0
\]

### Giải bài toán:

Bây giờ, chúng ta có hệ bất phương trình sau:

1. \( 30x + 15y \leq 1200 \)
2. \( 2x + 4y \leq 200 \)
3. \( x \geq 0 \)
4. \( y \geq 0 \)

**Giải các ràng buộc**:

- Từ ràng buộc thứ nhất:
\[
2x + y \leq 80 \quad \text{(chia cả hai vế cho 15)}
\]

- Từ ràng buộc thứ hai:
\[
x + 2y \leq 100 \quad \text{(chia cả hai vế cho 2)}
\]

**Vẽ đồ thị các bất phương trình**:

Ta sẽ vẽ đường thẳng tương ứng với các ràng buộc sau:

1. \( 2x + y = 80 \)
2. \( x + 2y = 100 \)

**Tìm các điểm giao nhau**:

1. Điểm giao nhau giữa hai đường thẳng:
\[
\begin{align*}
& 2x + y = 80 \quad (1)\\
& x + 2y = 100 \quad (2)\\
\end{align*}
\]

Từ (1), ta có \( y = 80 - 2x \). Thay vào (2):
\[
x + 2(80 - 2x) = 100 \\
x + 160 - 4x = 100 \\
-3x = -60 \\
x = 20 \Rightarrow y = 80 - 2(20) = 40 \\
\]
=> Điểm giao nhau là \( (20, 40) \).

**Kiểm tra các điểm cực biên**:

- Điểm (0, 0): \( Z = 40000(0) + 30000(0) = 0 \)
- Điểm (0, 50) (từ \( x + 2y = 100 \)): \( Z = 40000(0) + 30000(50) = 1500000 \)
- Điểm (40, 0) (từ \( 2x + 4y = 200 \)): \( Z = 40000(40) + 30000(0) = 1600000 \)
- Điểm (20, 40): \( Z = 40000(20) + 30000(40) = 800000 + 1200000 = 2000000 \)

### Kết quả:

Lợi nhuận cao nhất đạt được tại điểm \( (20, 40) \) với \( Z = 2000000 \).

Vậy nên, phân xưởng nên sản xuất:

- 20 kilogram sản phẩm loại I.
- 40 kilogram sản phẩm loại II.