Để tìm đa thức \( P(x) \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ phân tích điều kiện đầu tiên.

Ta biết rằng:

\[
P(a) \cdot P(b) = P(a+b) + P(a-b) \quad \forall a, b \in \mathbb{Z}
\]

Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp \( a = b = 0 \):

\[
P(0) \cdot P(0) = P(0 + 0) + P(0 - 0 \implies) P(0)^2 = P(0) + P(0)
\]
\[
P(0)^2 = 2P(0)
\]
Vì \( P(0) \neq 0 \), ta có:

\[
P(0) = 2
\]

Tiếp tục, thay \( b = 1 \):

\[
P(a) \cdot P(1) = P(a+1) + P(a-1)
\]
Với \( P(1) = 4 \), ta có:

\[
P(a) \cdot 4 = P(a+1) + P(a-1)
\]
Ta có thể viết lại:

\[
P(a+1) = 4P(a) - P(a-1)
\]

Như vậy, chúng ta có một đặc trưng đệ quy để xác định \( P(x) \). Để giải phương trình trên, ta có thể thử tìm một dạng của đa thức \( P(x) \).

Giả sử \( P(x) \) là đa thức bậc 2 có dạng:

\[
P(x) = ax^2 + bx + c
\]

Tính \( P(0) \):

\[
P(0) = c = 2
\]

Tính \( P(1) \):

\[
P(1) = a(1^2) + b(1) + c = a + b + 2 = 4 \implies a + b = 2
\]

Tính \( P(2) \):

\[
P(2) = 4P(1) - P(0) = 4 \cdot 4 - 2 = 16 - 2 = 14
\]

Tính \( P(3) \):

\[
P(3) = 4P(2) - P(1) = 4 \cdot 14 - 4 = 56 - 4 = 52
\]

Tính \( P(4) \):

\[
P(4) = 4P(3) - P(2) = 4 \cdot 52 - 14 = 208 - 14 = 194
\]

Cuối cùng, tính \( P(5) \):

\[
P(5) = 4P(4) - P(3) = 4 \cdot 194 - 52 = 776 - 52 = 724
\]

Vậy, giá trị của \( P(5) \) là:

\[
\boxed{724}
\]