Để chứng minh bài toán trên, chúng ta sẽ làm từng phần:

### a) Chứng minh \( MN = PQ \)

1. **Xét hình bình hành \( ABCD \)**:
- Ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

2. **Xác định các trung điểm**:
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( BC \).
- Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( CD \) và \( DA \).

3. **Chứng minh**:
- Ta có \( AM = MB \) và \( BN = NC \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm).
- Do \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), suy ra:
- \( MN \) là đoạn nối giữa hai điểm trung bình của hai cạnh đối diện, do đó:
\[
MN = \frac{1}{2} (AB + BC) = \frac{1}{2} (CD + DA) = PQ.
\]

### b) Chứng minh \( MNPQ \) là một hình bình hành

1. **Chứng minh \( MN \parallel PQ \)**:
- Vì \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), kéo dài tới các trung điểm sẽ cho \( MN \parallel PQ \).

2. **Chứng minh \( MP \parallel NQ \)**:
- Tương tự như trên, ta có:
\[
MP \parallel NQ \quad \text{vì \( AM = MB \) và \( DP = QC \)}.
\]

3. **Kết luận**:
- Hai cặp cạnh đối diện \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \) chứng tỏ rằng \( MNPQ \) là một hình bình hành.

### Tóm lại

- Chúng ta đã chứng minh được \( MN = PQ \) và \( MNPQ \) là một hình bình hành.