Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ làm từng bước một.

### a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật

Để tứ giác \( AEMF \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tất cả các góc trong tứ giác này đều là \( 90^\circ \).

- Ta có \( ME \) vuông góc với \( AB \) (định nghĩa đã cho), tức là \( \angle AEM = 90^\circ \).
- Tương tự, \( MF \) vuông góc với \( AC \) (định nghĩa đã cho), tức là \( \angle AMF = 90^\circ \).
- Do tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), nên \( AB = AC \) và \( \angle BAC = 90^\circ \).

Ta có:
- \( \angle AEM + \angle AMF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \), điều này chứng tỏ rằng \( AE \) và \( MF \) là các cạnh đối diện. Tứ giác \( AEMF \) có ba cặp góc vuông, nên tứ giác \( AEMF \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( A, O, M \) thẳng hàng

Gọi \( O \) là trung điểm của \( EF \). Để chứng minh \( A, O, M \) thẳng hàng, ta sẽ chỉ ra rằng điểm \( O \) nằm trên đường thẳng \( AM \).

- Vì \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \), ta có \( OE = OF \).
- Từ góc vuông tại \( A \), ta có \( AE // MF \) và \( AM \) cắt đoạn thẳng \( EF \) tại một điểm. Do đó, tiếp tục suy nghĩ về hình chữ nhật \( AEMF \) và thuộc tính của trung điểm, ta thấy \( AO \) sẽ chia cạnh \( EF \) thành hai phần bằng nhau, đồng nghĩa với việc \( O \) nằm trên đường thẳng \( AM \).

### c) Xác định vị trí của điểm \( M \) trên \( BC \) để độ dài \( EF \) ngắn nhất

Để tìm độ dài \( EF \) ngắn nhất, ta cân nhắc hình học. Để tìm vị trí của \( M \):

1. Gọi \( d \) là khoảng cách từ \( A \) đến đường thẳng \( BC \).
2. Ta áp dụng định lý đoạn thẳng ngắn nhất trong không gian, độ dài của đoạn thẳng \( EF \) sẽ ngắn nhất khi nó là hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên đường thẳng \( BC \).

Để tối thiểu hóa chiều dài \( EF \), điểm \( M \) cần nằm trên đường thẳng vuông góc từ \( A \) hạ xuống \( BC \). Do đó, vị trí của \( M \) trên \( BC \) để có chiều dài \( EF \) ngắn nhất là điểm trên \( BC \) mà \( AM \) vuông góc với \( BC \).

Việc này phản ánh theo đỉnh góc \( B \) hoặc \( C \) tương ứng là điểm hạ xuống chính giữa đoạn thẳng \( BC \), thêm vào đó, độ dài \( EF \) được giảm thiểu phần lớn tại vị trí này.