Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[
2x^2 + 2xy + 3y = 4y^2 + 3
\]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

1. Đưa tất cả các hạng tử về một phía:

\[
2x^2 + 2xy + 3y - 4y^2 - 3 = 0
\]

2. Đặt lại phương trình theo dạng chuẩn để phân tích:

\[
2x^2 + 2xy - 4y^2 + 3y - 3 = 0
\]

3. Đây là một phương trình bậc 2 theo \(x\). Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó:

- \(a = 2\)
- \(b = 2y\)
- \(c = -4y^2 + 3y - 3\)

4. Tính toán:

\[
b^2 - 4ac = (2y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4y^2 + 3y - 3) = 4y^2 + 32y^2 - 24y + 24 = 36y^2 - 24y + 24
\]

5. Để \(x\) là số nguyên, biểu thức \((36y^2 - 24y + 24)\) phải là một số chính phương.

6. Giải bất phương trình, ta cần tìm các giá trị của \(y\) sao cho \(36y^2 - 24y + 24\) là chính phương và sau đó tìm \(x\) tương ứng.

7. Khi thử các giá trị nguyên cho \(y\), ta sẽ tìm các cặp \((x, y)\) thỏa mãn.

Tiến hành thay giá trị cho \(y\) để tìm ra các nghiệm cụ thể của phương trình.