Để tính giá trị của \( \tan^8 \alpha + \cot^8 \alpha \) khi \( \tan \alpha = \sqrt{2} - 1 \), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách tìm giá trị của \( \cot \alpha \).

Biết rằng:
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}
\]

Thay giá trị của \( \tan \alpha \):
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện một số phép biến đổi để đơn giản hóa \( \cot \alpha \):
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1
\]

Vậy ta có:
\[
\tan \alpha = \sqrt{2} - 1 \quad \text{và} \quad \cot \alpha = \sqrt{2} + 1
\]

Tiếp theo, ta sẽ tính \( \tan^2 \alpha \) và \( \cot^2 \alpha \):
\[
\tan^2 \alpha = (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}
\]
\[
\cot^2 \alpha = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}
\]

Tiếp tục, chúng ta tính \( \tan^4 \alpha \) và \( \cot^4 \alpha \):
\[
\tan^4 \alpha = (3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}
\]
\[
\cot^4 \alpha = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}
\]

Bây giờ ta cộng \( \tan^4 \alpha \) và \( \cot^4 \alpha \):
\[
\tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha = (17 - 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) = 34
\]

Tiếp theo, ta tính \( \tan^8 \alpha \) và \( \cot^8 \alpha \) bằng cách sử dụng công thức:
\[
\tan^8 \alpha + \cot^8 \alpha = (\tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha)^2 - 2 \tan^4 \alpha \cot^4 \alpha
\]

Chúng ta đã có \( \tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha = 34 \), bây giờ cần tính \( \tan^4 \alpha \cot^4 \alpha \):
\[
\tan^4 \alpha \cot^4 \alpha = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 9 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1
\]

Giờ đây, thay vào công thức:
\[
\tan^8 \alpha + \cot^8 \alpha = 34^2 - 2 \cdot 1 = 1156 - 2 = 1154
\]

Vậy giá trị của \( \tan^8 \alpha + \cot^8 \alpha \) là:
\[
\boxed{1154}
\]