Để giải phương trình \((4x - 7)^2(2x - 5)(x - 1) = -1\), ta sẽ tiến hành biến đổi và phân tích biểu thức.

1. **Đưa về dạng tổng quát**:
\[
(4x - 7)^2(2x - 5)(x - 1) + 1 = 0
\]

2. **Phân tích và tìm điều kiện**:
Ta sẽ giải phương trình theo từng phần:
- Xét \( (4x - 7)^2 \) luôn không âm (tức là \(\geq 0\)).
- Khi đó, \((4x - 7)^2(2x - 5)(x - 1) + 1 = 0\) thì \((4x - 7)^2(2x - 5)(x - 1) = -1\) không có nghiệm nào vì bên trái luôn dương hoặc bằng không, còn bên phải là \(-1\).

3. **Tìm nghiệm dựa trên giá trị của từng phần**:
Để tìm nghiệm của \((2x - 5)(x - 1)\) gần hơn với \(0\), ta nên thử các giá trị nguyên cho \(x\):

- \(x = 0\):
\[
(4(0) - 7)^2(2(0) - 5)(0 - 1) = 49 \cdot (-5) \cdot (-1) = 245 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]
- \(x = 1\):
\[
(4(1) - 7)^2(2(1) - 5)(1 - 1) = (-3)^2(-3)(0) = 0 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]
- \(x = 2\):
\[
(4(2) - 7)^2(2(2) - 5)(2 - 1) = (1)^2(-1)(1) = -1 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]

- \(x = 3\):
\[
(4(3) - 7)^2(2(3) - 5)(3 - 1) = (5)^2(1)(2) = 50 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]
- \(x = 4\):
\[
(4(4) - 7)^2(2(4) - 5)(4 - 1) = (9)^2(3)(3) = 243 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]

4. **Kết luận**:
Nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình là:
\[
\boxed{2}
\]