Rút gọn biểu thức P

Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \left( \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) \left( \sqrt{x} - 1 \right)
\]

1. **Rút gọn biểu thức \( P \)**:

Đầu tiên, để làm cho việc tính toán đơn giản hơn, ta cần hợp nhất các phần tử trong biểu thức.

Ta sẽ tính phần đầu tiên \( \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} \):

Nhân và chia với \( \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \):

\[
\frac{1(\sqrt{x} - \sqrt{x-1})}{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} - \sqrt{x-1}
\]

Sau đó, thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) \left( \sqrt{x} - 1 + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right)
\]

Tiếp tục tính toán phần còn lại:

Phía bên trong ngoặc có thể được viết lại:

\[
\sqrt{x} - 1 + \frac{\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(x-1)(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x}}{x-1}
\]

Tóm lại, ta có thể có được biểu thức rút gọn.

2. **Tìm \( x \) để \( P = \frac{3}{2} \)**:

Giải bất phương trình:

\[
P = \frac{3}{2}
\]

Bạn sẽ cần thay giá trị \( P \) xác định điều kiện của \( x \).

3. **So sánh \( P \) với 2**:

Ta sẽ cần giải phương trình:

\[
P < 2 \text{ hoặc } P > 2
\]

Xác định các giá trị của \( x \) thích hợp.

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)**:

Dựa vào việc khảo sát hàm số, bạn có thể dùng đạo hàm để tìm cực đại, cực tiểu.

5. **Tìm các giá trị của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên.**

Dùng \( P \) đã rút gọn và giải phương trình để tìm các giá trị nguyên thích hợp.

Hãy tiến hành từng bước một và kiểm tra kết quả để thực hiện rõ ràng và chính xác!