### Bài 1:

**a)** Giải phương trình:
\[
\frac{x+1}{x-2} = \frac{5}{12} + 1
\]

**Giải:**

Bắt đầu bằng việc tính toán phía bên phải:
\[
\frac{5}{12} + 1 = \frac{5}{12} + \frac{12}{12} = \frac{17}{12}
\]

Ta có:
\[
\frac{x+1}{x-2} = \frac{17}{12}
\]

Tiến hành nhân chéo:
\[
12(x+1) = 17(x-2)
\]
\[
12x + 12 = 17x - 34
\]
\[
12 + 34 = 17x - 12x
\]
\[
46 = 5x
\]
\[
x = \frac{46}{5} = 9.2
\]

**b)** Giải phương trình:
\[
\frac{x}{2} + 2 = \frac{3}{10} - \frac{3}{4}
\]

**Giải:**

Đầu tiên, tính toán phía bên phải:
\[
\frac{3}{10} - \frac{3}{4} = \frac{3}{10} - \frac{30}{40} = \frac{12}{40} - \frac{30}{40} = -\frac{18}{40} = -\frac{9}{20}
\]

Ta có:
\[
\frac{x}{2} + 2 = -\frac{9}{20}
\]

Giải phương trình:
\[
\frac{x}{2} = -\frac{9}{20} - 2
\]
Truyền 2 về dạng phân số:
\[
2 = \frac{40}{20} \Rightarrow -\frac{9}{20} - \frac{40}{20} = -\frac{49}{20}
\]
\[
\frac{x}{2} = -\frac{49}{20}
\]
\[
x = -\frac{49}{10} = -4.9
\]

**c)** Giải bất phương trình:
\[
|x + 6| - |x - 6| \geq 3
\]

**Giải:**

Ta xét 2 trường hợp cho giá trị của \( x \).

**Trường hợp 1:** \( x + 6 \geq 0 \) và \( x - 6 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 6 \)):
\[
x + 6 - (x - 6) \geq 3 \Rightarrow 12 \geq 3 \text{ (luôn đúng)}
\]
Vậy \( x \geq 6 \).

**Trường hợp 2:** \( x + 6 \geq 0 \) và \( x - 6 < 0 \) (tức là \( -6 \leq x < 6 \)):
\[
x + 6 - (-x + 6) \geq 3 \Rightarrow 2x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}
\]

Kết hợp hai điều kiện:
\[
\frac{3}{2} \leq x < 6
\]

**Trường hợp 3:** \( x + 6 < 0 \) (tức là \( x < -6 \)):
\[
-(x + 6) - (-(x - 6)) \geq 3 \Rightarrow -x - 6 + x - 6 \geq 3 \Rightarrow -12 \geq 3 \text{ (sai, không có nghiệm)}
\]

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là:
\[
\frac{3}{2} \leq x < 6 \text{ hoặc } x \geq 6
\]

### Bài 2:

Một ô tô đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội với tốc độ 40 km/h. Sau 2 giờ 15 phút nghỉ lại ở Thanh Hóa, ô tô lại đi từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30 km/h.

Để tính chiều dài quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa, ta có:
- Thời gian đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội: \( t_1 = \frac{d}{40} \)
- Thời gian đi từ Hà Nội về Thanh Hóa: \( t_2 = \frac{d}{30} \)

Thời gian nghỉ là \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) giờ. Tổng thời gian là 11 giờ:
\[
t_1 + t_2 + \frac{1}{4} = 11
\]

Thay vào:
\[
\frac{d}{40} + \frac{d}{30} + \frac{1}{4} = 11.
\]

Tính \( d \):
\[
\frac{3d + 4d}{120} + \frac{1}{4} = 11
\]
\[
\frac{7d}{120} + \frac{1}{4} = 11 \Rightarrow \frac{7d}{120} = 11 - \frac{1}{4} = \frac{44}{4} - \frac{1}{4} = \frac{43}{4}
\]
\[
7d = \frac{43 \times 120}{4} \Rightarrow d = \frac{43 \times 30}{7} = \frac{1290}{7} \approx 184.29 \text{ km}
\]

### Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài AB = 6 cm, AC = 8 cm.

**a)** Chứng minh \( \Delta HBA \) đồng dạng \( \Delta ABC \).

**Giải:**

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- \( \angle AHB = 90^{\circ} \) (H là chân đường cao từ A)
- \( \angle BAH = \angle CAB \)

Do đó, các tam giác đồng dạng theo theo tỷ lệ 6:8. Hoặc có thể nói là:
\[
\Delta HBA \sim \Delta ABC
\]

**b)** Tính BC, AC, BH:

Sử dụng định lý Pythagoras:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = 10 \text{ cm}
\]

**c)** Gọi I và K là giao điểm của đường cao H lên cạnh AB, AC.

Chứng minh \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \):

Vì tam giác ABC vuông tại A, chứng minh này đạt yêu cầu của tỷ lệ giữa các khoảng cách từ chân đường cao đến các đỉnh.

Kết luận là:
\[
AI \cdot AB = AK \cdot AC
\]