Để chứng minh rằng hàm số \( f \) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \), ta cần chứng minh rằng với mọi \( x_0 \in \mathbb{R} \), giới hạn \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).

Các bước chứng minh như sau:

1. **Kiểm tra liên tục tại các điểm trong miền xác định:**
- Nếu \( f \) là đa thức, hàm số liên tục tại mọi điểm trên \( \mathbb{R} \).
- Nếu \( f \) là hàm hợp của các hàm liên tục, thì cũng sẽ liên tục.

2. **Kiểm tra tại các điểm đặc biệt:**
- Nếu \( f \) có các điểm ngắt, ta cần nghiên cứu giới hạn tại các điểm này.

3. **Sử dụng định nghĩa liên tục:**
- Với mỗi \( x_0 \), chọn cho trước \( \epsilon > 0 \).
- Tìm \( \delta > 0 \) sao cho nếu \( |x - x_0| < \delta \), thì \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \).

Nếu hàm số \( f \) không có điểm mất liên tục (ví dụ: không có điểm nhảy, điểm dừng hay điểm vô hạn), ta có thể kết luận rằng hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Dựa vào đồ thị hàm số mà bạn đã cung cấp, kiểm tra từng khoảng trên đồ thị có thể giúp xác định các điểm liên tục rõ ràng. Nếu đồ thị không có điểm nhảy hoặc không có khoảng không xác định, thì hàm số \( f \) là liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Vì vậy, kết luận là hàm số \( f \) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \).