Để giải bài tập theo định lý Pythagore, chúng ta sẽ làm từng bài một.

### Bài 1:
Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình:

1. **Hình tam giác EBC**:
- Độ dài đoạn BC và AC được tính bằng công thức:
\[
BC = \sqrt{EC^2 + EB^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ cm}
\]

2. **Hình tam giác GHF**:
- Đoạn GH sử dụng góc 60°:
\[
GH = EC \cdot \sin(60°) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \text{ cm}
\]

3. **Hình tam giác MNP**:
- Đoạn NP được tính bằng Pythagore:
\[
NP = \sqrt{MN^2 + MP^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13} \text{ cm}
\]

### Bài 2:
Kiểm tra xem tam giác có độ dài ba cạnh trong môi trường sau có phải là tam giác vuông hay không:

a) \(12cm, 35cm, 37cm\)
- Kiểm tra:
\[
12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369 = 37^2 \quad \text{(Tam giác vuông)}
\]

b) \(10cm, 8cm, 7cm\)
- Kiểm tra:
\[
10^2 + 8^2 = 100 + 64 = 164 \neq 49 \quad \text{(Không phải tam giác vuông)}
\]

c) \(12cm, 15cm, 9cm\)
- Kiểm tra:
\[
12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2 \quad \text{(Tam giác vuông)}
\]

### Bài 3:
Cho tam giác ABC nhọn tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại B. Tính độ dài BC biết:

a) \(HA=7cm, HC=2cm\):
- Độ dài BC:
\[
BC = HA + HC = 7 + 2 = 9cm
\]

b) \(AB = 5cm, HA = 4cm\):
- Sử dụng Pythagore để tính AC:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + HA^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}cm
\]

### Bài 4:
Cho tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông bằng 5. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác góc vuông:
- \(c =\) cạnh huyền:
\[
c = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}cm
\]

### Bài 5:
Cho ΔABC vuông ở A có \(\frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}\) và \(BC = 51cm\). Tính AB, AC:
- Gọi \(AB = 8x\) và \(AC = 15x\).
- Theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow (8x)^2 + (15x)^2 = 51^2
\]
\[
64x^2 + 225x^2 = 2601 \Rightarrow 289x^2 = 2601 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3
\]
- Tính \(AB\) và \(AC\):
\[
AB = 8x = 24 \text{ cm}, AC = 15x = 45 \text{ cm}
\]

Chúc bạn học tốt!