Để chứng minh \( BD = CE \) trong tam giác đều \( \triangle ABC \) với \( A < 90^\circ \) và \( AB = AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học.

### Chứng minh \( BD = CE \)

1. **Tính chất đường cao trong tam giác cân**:
- Trong tam giác \( \triangle ABC \), với \( AB = AC \), ta có \( AD \) là đường cao, cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của \( \angle BAC \).

2. **Tam giác vuông**:
- \( CE \perp AB \) và \( BD \perp AC \), do đó \( \triangle BCE \) và \( \triangle ABD \) là các tam giác vuông tại \( E \) và \( D \).

3. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Do \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \), các điểm \( D \) và \( E \) có tính đối xứng qua đường trung tuyến \( AD \).

4. **Chứng minh bằng Pythagoras**:
- Ta có \( AB = AC \) và \( BD \perp AC \), \( CE \perp AB \).
- Trong tam giác vuông \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACD \), áp dụng định lý Pythagoras:
\[
AE^2 = AB^2 - BE^2
\]
\[
AD^2 = AC^2 - BD^2
\]
- Khi đó, do tính chất đối xứng và bằng nhau của các cạnh, ta có thể suy ra rằng \( BD = CE \).

### Chứng minh \( OE = OD \) và \( OB = OC \)

1. **Tính chất đối xứng**:
- Vì \( O \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \) thì tính đối xứng qua đoạn thẳng \( OD \) và \( OE \) cho thấy rằng \( OE = OD \) và do đó \( OB = OC \).

### Chứng minh rằng \( OA \) là phân giác của \( \angle BAC \)

1. **Tính chất phân giác**:
- Đường thẳng \( OA \) là phân giác của góc \( BAC \) vì \( AB = AC \) và \( O \) là điểm trên \( BD \) và \( CE \) giao nhau, tạo thành các góc bằng nhau \( \angle OAB = \angle OAC \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BD = CE \), \( OE = OD \) và \( OB = OC \), đồng thời \( OA \) là phân giác của \( \angle BAC \).