Để chứng minh \( \triangle AIC \sim \triangle BHI \), ta cần sử dụng định nghĩa về tam giác đồng dạng và các tính chất của các góc trong tam giác vuông.

1. **Tam giác vuông**: Trong tam giác \( \triangle ABC \), với \( C \) là góc vuông, ta có:
- Góc \( ACB = 90^\circ \).
- Góc \( ACI = \angle ACB = 90^\circ \) (góc vuông tại \( H \) vì \( H \) nằm trên đường vuông góc từ \( A \) xuống \( BC \)).

2. **Góc tương ứng**:
- \( \angle AIC = \angle BHI \) (góc ở chân vuông của các đường cao).
- \( \angle ACI = \angle BHI \) (do cả hai đều là góc vuông).

3. **Góc đồng dạng**: Từ hai cặp góc tương ứng đã chứng minh, ta có:
- \( \angle AIC = \angle BHI \)
- \( \angle ACI = \angle BHI = 90^\circ \)
- Điều này nghĩa là \( \angle AIC + \angle ACI = 90^\circ + \angle AIC = 180^\circ \).

4. **Suy ra**: Vì cả hai tam giác có các cặp góc tương ứng bằng nhau, theo định lý góc góc (AA), ta có:
\[
\triangle AIC \sim \triangle BHI.
\]

Kết luận: Chứng minh đã hoàn thành rằng \( \triangle AIC \sim \triangle BHI \).