Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định diện tích của hình vuông ABCD và cách mà diện tích của hình vuông ABnIDn thay đổi qua từng bước lấy trung điểm.

1. Hình vuông ABCD có cạnh = x, nên diện tích của hình vuông này là:
\[
S_0 = x^2.
\]

2. Khi lấy trung điểm B1 của AB và D1 của AD, ta có:
- B1 là trung điểm của AB, đồng nghĩa với cạnh AB1 = x/2.
- D1 là trung điểm của AD, tương tự D1 cũng có AD1 = x/2.

3. Tiếp theo, khi lấy trung điểm B2 của AB1 và D2 của AD1, ta có:
- B2 là trung điểm của AB1, nên cạnh AB2 = x/4.
- D2 là trung điểm của AD1, nên AD2 = x/4.

4. Qua mỗi lần lấy trung điểm, cạnh của hình vuông ABnIDn giảm đi một nửa so với lần trước đó. Do đó:
- Cạnh ABnIDn = x/(2^n).

5. Tính diện tích của hình vuông ABnIDn:
\[
S_n = (ABnIDn)^2 = \left(\frac{x}{2^n}\right)^2 = \frac{x^2}{4^n}.
\]

6. Ta cần tìm n sao cho diện tích S_n = \frac{x^2}{256}. Từ đó ta có:
\[
\frac{x^2}{4^n} = \frac{x^2}{256}.
\]

Để giải phương trình trên, ta thấy rằng:
\[
4^n = 256.
\]

Mà \( 256 = 4^4 \), vậy:
\[
n = 4.
\]

Vậy sau 4 lần lấy trung điểm thì diện tích của hình vuông ABnIDn bằng \(\frac{x^2}{256}\).