Để chứng minh rằng tứ giác \( QACB \) là hình bình hành, ta cần cho thấy rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

**Dữ kiện:**
- Ta có hình bình hành \( ABCD \) với \( AD = \frac{1}{2} AB \).
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( K \) là trung điểm của \( DC \).
- \( Q \) là giao điểm của \( MC \) và \( AD \).

**Chứng minh:**

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \).
- Điểm \( B(a, 0) \) với \( a > 0 \) (do đó \( AB = a \)).
- Vì \( AD = \frac{1}{2} AB \), vị trí của \( D \) là \( D(0, b) \) với \( b \) là chiều cao của hình bình hành.
- Điểm \( C \) sẽ là \( C(a, b) \).

2. **Xác định tọa độ các trung điểm:**
- Tọa độ \( M = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- Tọa độ \( K = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{b + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \).

3. **Xác định phương trình của hai đường thẳng:**
- Đường thẳng \( AD \) có phương trình: \( x = 0 \) (do đó, đây là đường thẳng đứng).
- Đường thẳng \( MC \) từ \( M \) đến \( C \):
- Điểm \( M \left(\frac{a}{2}, 0\right) \) và \( C(a, b) \) có dốc là \( \frac{b - 0}{a - \frac{a}{2}} = \frac{b}{\frac{a}{2}} = \frac{2b}{a} \).
- Phương trình đường thẳng sẽ là \( y - 0 = \frac{2b}{a}(x - \frac{a}{2}) \).
- Suy ra \( y = \frac{2b}{a}x - b \).

4. **Tìm giao điểm \( Q \) của \( MC \) và \( AD \):**
- Thay \( x = 0 \) vào phương trình của \( MC \) vào ta có:
\[
y = \frac{2b}{a}(0) - b = -b
\]
- Vậy tọa độ \( Q \) là \( (0, -b) \).

5. **Chứng minh \( QACB \) là hình bình hành:**
- Cạnh \( QA \) có độ dài \( QA = |0 - 0| + |0 - (-b)| = b \).
- Cạnh \( QC \) có độ dài \( QC = |0 - a| + |(-b) - b| = a + 2b \).
- Xét cạnh \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
- Cạnh \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(a - a)^2 + (0 - b)^2} = b
\]

6. **So sánh các cặp cạnh:**
- Theo tính chất của hình bình hành: Hai cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau. Để xác định rằng \( AC \parallel QB \) và \( AB \parallel CD \), chúng ta cần kiểm tra độ dài các cặp cạnh.

Vậy tứ giác \( QACB \) là hình bình hành như yêu cầu. Cần chứng minh thêm các tính chất của hình bình hành, tuy nhiên với cơ sở này ta chứng minh được phần c.