Để chứng minh AMCN là hình bình hành và DE = DF, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh AMCN là hình bình hành**:
- Theo giả thiết, \(M\) là trung điểm của \(OD\) và \(N\) là trung điểm của \(OB\).
- Ta có các điểm trong hình bình hành \(ABCD\), với \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(OD\), nên có:
\[
OM = \frac{1}{2} OD
\]
- Tương tự, vì \(N\) là trung điểm của \(OB\), nên cũng có:
\[
ON = \frac{1}{2} OB
\]

- Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel CM\):
- Từ tính chất của hình bình hành, ta có:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Như vậy, \(AB\) cắt \(MO\) tại \(M\) và \(CN\) cắt \(OD\) tại \(N\).
- Do đó, kéo dài \(AM\) và \(CN\), ta suy ra rằng:
\[
AM \parallel CN
\]
- Tương tự, ta mô tả các đoạn thẳng này cho \(AN\) và \(CM\).

- Vì vậy, với hai cặp cạnh đối diện song song, ta kết luận rằng \(AMCN\) là hình bình hành.

2. **Chứng minh DE = DF**:
- Chúng ta đã có hình bình hành \(AMCN\) và \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\), còn \(F\) là giao điểm của \(CN\) và \(AB\).
- Trong một hình bình hành, các đường chéo chia hình đó thành các tam giác có diện tích bằng nhau.
- Hơn nữa, trong hình bình hành, \(CD\) song song với \(AB\) và giống như nhau.
- Điều này có nghĩa rằng:
\[
DE = DF
\]

Tóm lại, qua các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \(AMCN\) là hình bình hành và chiều dài \(DE\) bằng chiều dài \(DF\).