Để giải quyết bài tập này, trước tiên ta cần xác định thuộc tính của đường tròn (C) được cho bởi phương trình:

\[
x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0.
\]

**Bước 1: Chuyển đổi phương trình đường tròn**

Ta có thể viết lại phương trình này theo dạng chuẩn của đường tròn bằng cách hoàn thành bình phương.

1. Nhóm các hạng tử x và y:
\[
(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0.
\]

2. Hoàn thành bình phương:
- Với \(x\):
\[
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.
\]
- Với \(y\):
\[
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1.
\]

3. Thay vào phương trình:
\[
(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0,
\]
\[
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0.
\]
\[
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4.
\]

Đường tròn (C) có tâm \(O(3, -1)\) và bán kính \(r = 2\).

**Bước 2: Kiểm tra các mệnh đề**

a) **Điểm A thuộc đường tròn**:
Tính khoảng cách từ O đến A:
\[
OA = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \neq 2.
\]
→ Mệnh đề (a): **Sai**.

b) **Điểm B nằm trong đường tròn**:
Tính khoảng cách từ O đến B:
\[
OB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \neq 2.
\]
→ Mệnh đề (b): **Sai**.

c) **\(x = 1\) phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A**:
Tính đạo hàm và phương trình tiếp tuyến tại A. Với phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến qua A có dạng:
\[
(x - 3)(-2) + (y + 1)(2) = 0.
\]
Tuy nhiên, phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng khác đánh dấu A không nằm trên đường tròn.
→ Mệnh đề (c): **Sai**.

d) **Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C)**:
Để kiểm tra việc B có nằm ngoài đường tròn, ta sẽ tính khoảng cách OB và so sánh với bán kính. Tuy nhiên, tại \(B\) không nằm trên đường tròn và sẽ có hai tiếp tuyến.
→ Mệnh đề (d): **Đúng**.

Tóm lại, các mệnh đề được đánh giá như sau:
- a) Sai
- b) Sai
- c) Sai
- d) Đúng