Để giải phương trình \( \cos^2 x - \sin x + 1 = 0 \), trước tiên, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa cơ bản của hàm lượng giác. Ta biết rằng:

\[
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x
\]

Thay thế vào phương trình, ta có:

\[
1 - \sin^2 x - \sin x + 1 = 0
\]

Kết hợp các hằng số lại, ta có:

\[
- \sin^2 x - \sin x + 2 = 0
\]

Nhân cả phương trình với -1 để rút gọn:

\[
\sin^2 x + \sin x - 2 = 0
\]

Bây giờ, phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến số \( \sin x \). Ta có thể đặt:

\[
y = \sin x
\]

Và phương trình trở thành:

\[
y^2 + y - 2 = 0
\]

Tiến hành giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 1, b = 1, c = -2 \):

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

Tính toán các nghiệm:

\[
y_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-4}{2} = -2
\]

Nghiệm \( y_2 = -2 \) không hợp lệ vì giá trị của \( \sin x \) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

Chỉ còn lại nghiệm:

\[
\sin x = 1
\]

Giải phương trình \( \sin x = 1 \):

\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình \( \cos^2 x - \sin x + 1 = 0 \) là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]