Để giải bài tập này, ta cần thực hiện theo các bước như sau:

**a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle DAB \)**

- Ta có tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), nên \( \angle CAB + \angle ABC = 90^\circ \).
- Tia \( Ax \) // \( BC \) dẫn tới \( \angle DAB = \angle ABC \).
- Tia \( By \) vuông góc với \( BC \) tại \( B \) nên \( \angle ADB = 90^\circ \).
- Do đó, \( \triangle ABC \sim \triangle DAB \) (có góc vuông và một cặp góc tương ứng).

**b) Tính \( BC, DA, DB \)**

- Tính độ dài \( BC \) bằng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, tỷ lệ giữa độ dài các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{DA} = \frac{AC}{DB} = \frac{BC}{AB}
\]

- Ta có:
\[
DA = \frac{AB \cdot DB}{BC}
\]
và
\[
DB = \frac{AC \cdot DA}{BC}
\]

**c) AB cắt CD tại I. Tính diện tích \( \triangle BIC \)**

- Điểm \( I \) là giao điểm của \( AB \) và \( CD \) (đường thẳng vuông góc với \( BC \)).
- Diện tích \( \triangle BIC \) có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times h
\]
- Trong đó, \( h \) là chiều cao từ \( I \) đến \( BC \).

Cần áp dụng các giá trị đã biết để tính các đại lượng này và sẽ có diện tích cụ thể cho \( \triangle BIC \).