Trên bảng có viết 100 số nguyên dương đầu tiên. A và B, bắt đầu từ A, thay phiên nhau xóa các số trên bảng, mỗi lượt xóa đúng một số, cho đến khi còn lại đúng hai số trên bảng

Để xác định ai có chiến thắng trong trò chơi này, chúng ta cần phân tích tổng các số trên bảng và cách thức chia hết cho 3.

Có 100 số nguyên dương đầu tiên là: 1, 2, 3, ..., 100. Tính tổng của chúng:

\[
S = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = 5050
\]

Tiếp theo, ta tìm số dư của tổng 5050 khi chia cho 3:

\[
5050 \mod 3
\]

Chia 5050 cho 3:

- \(5050 \div 3 = 1683\) với số dư là \(5050 - 3 \times 1683 = 1\).

Vậy, \(5050 \equiv 1 \,(\text{mod} \, 3)\).

Khi A và B xóa các số, số lượng số trên bảng sẽ giảm từ 100 xuống còn 2, tức là họ sẽ xóa đi 98 số. Để A thắng, tổng của 2 số còn lại phải chia hết cho 3. Rõ ràng, nếu tổng ban đầu là \(S \equiv 1 \,(\text{mod} \, 3)\), thì để tổng của 2 số còn lại \(x + y \equiv 0 \,(\text{mod} \, 3)\), thì điều này tương đương với:

\[
x + y \equiv S - (x + y) \equiv 1 - (x + y) \equiv 0 \,(\text{mod} \, 3) \implies x + y \equiv 1 \,(\text{mod} \, 3).
\]

Vì mỗi lần A hoặc B xóa một số, tổng của các số trên bảng sẽ thay đổi. Khi 98 số được xóa, sẽ còn lại 2 số, và tổng của 2 số đó có thể có nhiều giá trị khác nhau tùy theo các số mà mỗi người chọn. Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra điều kiện khi gần đến cuối trò chơi.

Nếu cả A và B đều chơi một cách tối ưu, A sẽ luôn cố gắng giữ cho tổng của 2 số còn lại \(x+y\), sao cho có thể bằng cách nào đó khiến nó hòa hợp với điều kiện \(x + y \equiv 0 \,(\text{mod} \, 3)\).

Đến lúc quyết định cuối cùng, A có lợi thế đầu tiên trong việc chọn số. Sau khi B chọn nhiều số, A sẽ quyết định sao cho cuối cùng \(x+y\) chia hết cho 3. B không thể chiếm ưu thế nếu A thi đấu khôn ngoan.

Tóm lại, A có lợi thế và có khả năng thắng nếu chơi một cách tối ưu. Do vậy, A có chiến thuật thắng.