Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC

### Câu 1

Cho tam giác nhọn \(ABC\) với các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại điểm \(H\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(E\) và \(D\) lên cạnh \(BC\).

#### a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\) và \(DN\) là \(EM/DN\)

Ta có:
- \(M\) là hình chiếu của \(E\) lên \(BC\).
- \(N\) là hình chiếu của \(D\) lên \(BC\).

Ta có \(EM \perp BC\) và \(DN \perp BC\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(BC\) là khoảng cách theo đường thẳng. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất hình học sau:

Từ định lý chiều cao trong tam giác, ta biết rằng:
\[
\frac{EH}{HM} = \frac{EN}{HN}
\]

Và do \(HM\) và \(HN\) lần lượt là các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng \(BC\), nên có thể dễ dàng rút ra được tỉ số:
\[
\frac{HM}{HN} = \frac{EM}{DN}
\]
Tức là:
\[
\frac{EH}{EM} = \frac{EN}{DN}
\]

Do đó \( \frac{EH}{EN} = \frac{EM}{DN} \). Kết luận là:
\[
\text{Tỉ số khoảng cách từ } H \text{ đến } EM \text{ và } DN = \frac{EM}{DN}
\]

#### b) Chứng minh \(HO \perp BC\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(BM\) và \(DN\). Ta sẽ chứng minh rằng góc \(HOB\) là góc vuông.

Ta có \(HE \perp BC\) và \(HD \perp BC\), tức là \(HE\) và \(HD\) là hai đường cao từ \(H\) đến \(BC\). Do đó, tam giác \(HMB\) và \(HND\) đều có góc vuông. Khi đó, \(HOB\) sẽ là một góc vuông.

### Câu 2

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(H\) là chân đường cao từ \(A\) đến \(BC\).

#### a) Chứng minh tam giác \(AEB\) đồng dạng với tam giác \(DAN\)

Ta vẽ \(D\) trên tia đối của \(AC\) và vẽ \(AE\) vuông góc với \(BD\) tại điểm \(E\).

Xét các góc:
- Trong tam giác \(ABC\): \( \angle A = 90^\circ\)
- \(AE \perp BD\) nghĩa là \( \angle AEB = 90^\circ\)

Mặt khác,
- Gọi \(D'\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BD\). Có \( \angle DAB = \angle AEB\).

Do đó ta có:
- \( \angle AEB = \angle DAB\) và góc \(AEB\) có cạnh góc kề là \(AB\).
- Vậy, \( \triangle AEB \sim \triangle DAN\).

#### b) Chứng minh \(BE \cdot BD = BH \cdot BC\)

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng định lý Pytago:
- Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta có \(AH \perp BC\).

Sử dụng định lý trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2 \quad \text{và} \quad AH^2 + CH^2 = AC^2.
\]

Từ đó, theo tỉ số, ta sẽ chứng minh rằng:
\(BE \cdot BD = BH \cdot BC\).

#### c) Chứng minh \(\angle BHE = \angle BSC\)

Gọi \(S\) là giao điểm của \(AH\) với \(BC\).

Ta thấy rằng \(HE \perp BC\) và \(HS \perp BC\), đồng thời \(HB\) là trung điểm, từ đó có thể áp dụng tính chất đồng dạng trong tam giác vuông để chứng minh rằng hai góc này là bằng nhau.

Kết hợp các kết luận từ các phần trên, ta đã hoàn tất bài toán.