Cho a+b+c+d chia hết cho 6. Chứng minh : a^3 +b^3 +c^3 +d^3 chia hết cho 6

Để chứng minh rằng nếu \( a + b + c + d \) chia hết cho 6 thì \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) cũng chia hết cho 6, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp: chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

### Chia hết cho 2:
Nếu \( a + b + c + d \) chia hết cho 6, thì nó cũng chia hết cho 2. Điều này có nghĩa là \( a + b + c + d \) là một số chẵn.

Theo định lý về các số chẵn và lẻ, nếu tổng của bốn số là chẵn, thì số lượng số lẻ trong bốn số này phải là chẵn (0, 2 hoặc 4 số).

- Nếu tất cả \( a, b, c, d \) là số chẵn, thì \( a^3, b^3, c^3, d^3 \) đều là số chẵn và do đó \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) là số chẵn.
- Nếu có 2 số lẻ và 2 số chẵn, thì \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) sẽ có 2 số chẵn (có dạng chẵn) và 2 số lẻ (có dạng lẻ), tổng lại vẫn là số chẵn.

Vậy, từ đó suy ra rằng \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) chia hết cho 2.

### Chia hết cho 3:
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tính chia hết cho 3. Nếu \( a + b + c + d \equiv 0 \mod 3 \), thì theo định lý Fermat về số mũ, chúng ta có:

- Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \), thì \( a^3 \equiv 0 \mod 3 \).
- Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \), thì \( a^3 \equiv 1 \mod 3 \).
- Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \), thì \( a^3 \equiv 2^3 \equiv 2 \mod 3 \).

Giả sử rằng số lượng các số đồng dư với 0, 1, và 2 modulo 3 là:

- \( x_0 \): số lượng số \( a, b, c, d \) trong \( \{a, b, c, d\} \) có dạng \( 0 \mod 3 \).
- \( x_1 \): số lượng số \( a, b, c, d \) có dạng \( 1 \mod 3 \).
- \( x_2 \): số lượng số \( a, b, c, d \) có dạng \( 2 \mod 3 \).

Ta có:

\[
x_0 + x_1 + x_2 = 4
\]
Và:
\[
x_1 + 2x_2 + 0 \cdot x_0 \equiv 0 \mod 3
\]

Từ đây, chúng ta có các trường hợp:

1. Nếu \( x_0 = 4 \): Tất cả đều \( 0 \mod 3 \) => \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod 3\).
2. Nếu \( x_0 = 3 \) và một số là \( 1 \mod 3 \) hoặc \( 2 \mod 3 \): Số lẻ không làm thay đổi tổng độ chia hết.
3. Nếu \( x_0 = 2 \) và hai số còn lại là \( 1 \mod 3 \) và \( 2 \mod 3 \): Vẫn có thể tính rằng tổng \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) chia hết cho 3.
4. Nếu \( x_0 = 1 \) và độ lẻ \( 1, 1, 2 \): Tính giá trị theo công thức sẽ là số chia hết cho 3.

### Kết luận:
Vì \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) chia hết cho 2 và chia hết cho 3, nên nó cũng chia hết cho \( 6 \):

\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod 6
\]

Do đó, ta có \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) chia hết cho 6.