Cho a+b+c+d chia hết cho 6. Chứng minh : a^3 +b^3 +c^3 +d^3 chia hết cho 6

Để chứng minh rằng nếu \( a + b + c + d \) chia hết cho 6 thì \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) cũng chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng tính chất của số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

### 1. Chứng minh phần chia hết cho 2:

Nếu \( a + b + c + d \equiv 0 \mod{6} \), thì \( a + b + c + d \equiv 0 \mod{2} \).

Có hai trường hợp cho \( a, b, c, d \):
- Nếu tất cả các số \( a, b, c, d \) đều chẵn, lúc này \( a^3, b^3, c^3, d^3 \) đều chẵn. Do đó, \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) là một tổng của các số chẵn, nên cũng chẵn, tức là chia hết cho 2.
- Nếu có ít nhất một số lẻ, thì một số lẻ sẽ phải kết hợp với một số chẵn (bởi vì tổng là chẵn). Lưu ý rằng, khi nâng lên lũy thừa 3, số lẻ vẫn là lẻ và số chẵn vẫn là chẵn. Do đó, các số lẻ cộng lại vẫn cho ra một kết quả lẻ. Số số chẵn cộng với số lẻ sẽ duy trì tính chẵn của tổng. Vậy tổng cũng là số chẵn.

Vậy từ đây, ta có:
\[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod{2} \]

### 2. Chứng minh phần chia hết cho 3:

Tương tự, \( a + b + c + d \equiv 0 \mod{6} \) ⇒ \( a + b + c + d \equiv 0 \mod{3} \).

Xét từng số \( a, b, c, d \) theo modulo 3. Mỗi số có thể có ba trường hợp: \( 0, 1, 2 \) mod 3.

Ta có các trường hợp sau:
- Nếu \( a, b, c, d \equiv 0 \mod{3} \) thì \( a^3, b^3, c^3, d^3 \equiv 0 \mod{3} \).
- Nếu có ba số là 1 và một số là 0, thì tổng sẽ vẫn chia hết cho 3.
- Nếu có hai số là 1 và hai số là 0, tổng cũng sẽ cho kết quả là chia hết cho 3 và tương tự cho trường hợp 2 và 1.

Khi xem xét các trường hợp khác nhau, cuối cùng:
\[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod{3} \]

### Kết luận:

Từ hai phần trên, ta có:
1. \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod{2} \)
2. \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod{3} \)

Do hai trường hợp này là tính chất đồng thời, từ đó, ta suy ra:
\[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \mod{6} \]

Vậy, điều cần chứng minh là \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \) chia hết cho 6 đã được chứng minh.