Cho hình thang ABCD (AB // CD) . AC cắt BD tại O . Biết OC =OD . Chứng minh rằng: ABCD là hình thang cân

Để chứng minh rằng hình thang ABCD là hình thang cân, ta sẽ sử dụng điều kiện đã cho là OC = OD.

1. **Khám phá hình thang:**
Ta có hình thang ABCD với AB // CD. Theo định nghĩa, hai cạnh AD và BC sẽ không song song và chúng cắt nhau tại điểm O.

2. **Sử dụng OC = OD:**
Giả sử OC = OD. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng OC và OD là bằng nhau.

3. **Xét tam giác:**
Ta xét hai tam giác:
- Tam giác OAC
- Tam giác OBD

- Trong tam giác OAC, ta có OC = OC (đối diện).
- Trong tam giác OBD, ta cũng có OD = OD (đối diện).
- Góc ∠OAC (góc tại O của tam giác OAC) và ∠OBD (góc tại O của tam giác OBD) đều là góc tạo bởi đường chéo AC và BD.

4. **Sử dụng định lý đồng dạng:**
Do đó, ta có:
- OC = OD (theo giả thiết)
- OA = OB (góc chúng tạo ra từ 2 đoạn OA và OB sẽ bằng nhau, vì tổng thể đường dẫn vào O từ A và B là giống nhau do tính đối xứng của hình thang).

Từ đó suy ra rằng:
- Tam giác OAC đồng dạng với tam giác OBD.

5. **Suy ra AB = CD:**
Vì OC = OD và OA = OB, nên từ điều trên suy ra rằng AB = CD.

6. **Kết luận:**
Vì hai cạnh đáy của hình thang ABCD bằng nhau (AB = CD), theo định nghĩa thì ABCD là hình thang cân.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng nếu OC = OD thì hình thang ABCD là hình thang cân.