Cho tam giác vuông ABC vuông tại A và đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) HE = 6; AC = 9. Tính độ dài đoạn BC

Để giải bài toán, ta có tam giác vuông ABC với \(\angle A = 90^\circ\). Ta biết rằng \(HE\) vuông góc với \(AB\) và \(HE = 6\), \(AC = 9\). Ta cần tìm độ dài đoạn \(BC\).

Trước tiên, theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có mối quan hệ giữa các cạnh như sau:

\[
AH^2 = AC \cdot AB
\]

Ngoài ra, với đoạn thẳng \(HE\) vuông góc với \(AB\), ta nhận thấy rằng \(HE\) là chiều cao từ \(H\) xuống cạnh \(AB\).

Giả sử \(AB = b\), \(BC = c\). Do đó, theo định lý Pythagore, chúng ta có:

\[
AC^2 + AB^2 = BC^2 \quad \Rightarrow \quad 9^2 + b^2 = c^2
\]

Khi đó, tổng hợp các thông tin lại:

- \(AH\) là chiều cao nên \(AH = \frac{AC \cdot AB}{BC}\).

Khi tính \(AH\):

Từ \(AH\) (chiều cao) và \(HE\) (cũng là chiều cao tương ứng từ \(H\) xuống \(AB\)), ta có:

\[
HE = \frac{AC \cdot AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AC \cdot AB}{HE}
\]

Thay các giá trị vào công thức:

\[
BC = \frac{9b}{6} = \frac{3b}{2}
\]

Bây giờ, thay giá trị vào phương trình Pythagore:

\[
81 + b^2 = \left(\frac{3b}{2}\right)^2
\]

Phương trình trở thành:

\[
81 + b^2 = \frac{9b^2}{4}
\]

Đưa tất cả các hạng tử về một phía:

\[
81 = \frac{9b^2}{4} - b^2 = \frac{9b^2 - 4b^2}{4} = \frac{5b^2}{4}
\]

Nhân cả hai vế với 4:

\[
324 = 5b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{324}{5}
\]

Tính \(b\):

\[
b = \sqrt{\frac{324}{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5}
\]

Thay vào công thức để tính \(BC\):

\[
BC = \frac{3b}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{18\sqrt{5}}{5} = \frac{54\sqrt{5}}{10} = \frac{27\sqrt{5}}{5}
\]

Cuối cùng, đoạn \(BC\) là:

\[
\mathbf{BC = \frac{27\sqrt{5}}{5}}
\]