Để giải phương trình \(2\sin x - 2\cos x = \sqrt{2}\), trước tiên, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2:

\[
\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta có thể biến đổi phương trình bằng cách viết \(\sin x\) và \(\cos x\) theo thể dạng của hàm lượng giác. Ta biết rằng:

\[
\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}
\]

Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta sẽ dễ dàng hơn nếu không thay thế. Biến đổi tiếp theo có thể được thực hiện bằng cách đưa phương trình về dạng của một hàm sin hoặc cos. Chúng ta có thể thêm \(\cos x\) vào cả hai vế:

\[
\sin x = \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ dùng định nghĩa \( \tan x \) để giải. Chia cả hai vế cho \(\cos x\) (với điều kiện \(\cos x \neq 0\)):

\[
\tan x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2 \cos x}
\]

Tiếp theo, để giải thẳng phương trình này sẽ khá phức tạp, vì vậy một cách khác là sử dụng công thức tổng. Chúng ta sẽ thêm \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) vào cả hai vế:

Hãy biến đổi phương trình thành phương trình mới:

\[
\sin x - \cos x = \sqrt{2}/2
\]

Ta có thể có công thức biến đổi:

\[
\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})\right)
\]

Ta có:

\[
\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Phương trình này sẽ cho biết các giá trị của x.

Áp dụng định lý sin trước và sau:

\[
\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Bây giờ chia cả hai vế cho \(\sqrt{2}\):

\[
\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}
\]

Từ đây, chúng ta có thể tìm ra các giá trị của \(x\).

Giải phương trình:

\[
x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{hoặc} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Thêm \(\frac{\pi}{4}\):

1. \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{12} + k \cdot 2\pi\)
2. \(x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k \cdot 2\pi = \frac{13\pi}{12} + k \cdot 2\pi\)

Vậy các nghiệm tổng quát là:

\[
x = \frac{5\pi}{12} + k \cdot 2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{13\pi}{12} + k \cdot 2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]