Để giải phương trình \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Nhận diện đặc điểm**:
Đầu tiên, ta biết rằng:
\[
\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}
\]
(đạt được khi \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \) là số nguyên).

2. **Chuyển đổi biểu thức**:
Ta có thể viết lại phương trình bằng cách sử dụng công thức:
\[
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
\]
Như vậy, phương trình trở thành:
\[
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}
\]

3. **Chia hai vế cho \(\sqrt{2}\)**:
\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

4. **Giải phương trình lượng giác**:
Phương trình \(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\) có nghiệm:
\[
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
với \(k\) là số nguyên.

5. **Giải cho \(x\)**:
\[
x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

6. **Kết luận nghiệm**:
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \) là \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) với \( k \) là số nguyên.