Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thoả mãn phương trình

\[
9x^2 + 6x = y^3,
\]

chúng ta có thể bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình. Đầu tiên, ta có thể nhóm các hạng tử bên trái:

\[
9x^2 + 6x = 3x(3x + 2).
\]

Vậy chúng ta có phương trình:

\[
3x(3x + 2) = y^3.
\]

Từ đây, chúng ta có thể phân tích hơn nữa. Chúng ta cần tìm \( x \) sao cho biểu thức bên trái là một số chính phương và là bội của \( 3 \).

Để tìm nghiệm, chúng ta thử một vài giá trị của \( x \):

1. Với \( x = 0 \):
\[
9(0)^2 + 6(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0.
\]

2. Với \( x = 1 \):
\[
9(1)^2 + 6(1) = 9 + 6 = 15 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 15 \quad \Rightarrow \quad y \text{ không phải là số nguyên} .
\]

3. Với \( x = 2 \):
\[
9(2)^2 + 6(2) = 36 + 12 = 48 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 48 \quad \Rightarrow \quad y \text{ không phải là số nguyên} .
\]

4. Với \( x = -1 \):
\[
9(-1)^2 + 6(-1) = 9 - 6 = 3 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 3 \quad \Rightarrow \quad y \text{ không phải là số nguyên} .
\]

5. Với \( x = -2 \):
\[
9(-2)^2 + 6(-2) = 36 - 12 = 24 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 24 \quad \Rightarrow \quad y \text{ không phải là số nguyên} .
\]

6. Với \( x = -3 \):
\[
9(-3)^2 + 6(-3) = 81 - 18 = 63 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 63 \quad \Rightarrow \quad y \text{ không phải là số nguyên} .
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị khác của \( x \) sẽ cho chúng ta kết quả tương tự.

Cuối cùng, từ những giá trị thử nghiệm nhỏ, thấy rằng nghiệm duy nhất mà chúng ta tìm được là \( (x, y) = (0, 0) \).

Tóm lại, nghiệm nguyên của phương trình \( 9x^2 + 6x = y^3 \) là:
\[
(x, y) = (0, 0).
\]