Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### 1. Chứng minh: \( QK = PK \)

#### Giả thiết:
Cho hình thang cân \( MNPQ \) với \( MN \parallel PQ \) và \( MP = NQ \). Tiếp theo, tia phân giác góc \( M \) và \( N \) cắt nhau tại điểm \( K \) (và \( K \) thuộc cạnh \( PQ \)).

#### Chứng minh:
Theo định nghĩa tia phân giác, chúng ta có:

\[
\frac{PQ}{PK} = \frac{MQ}{MK} \quad (1)
\]

\[
\frac{PQ}{QK} = \frac{NQ}{NK} \quad (2)
\]

Do \( MP = NQ \) (vì MNPQ là hình thang cân), nên \( MQ = NP \).

Vì \( MN \parallel PQ \), theo định lý tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{MQ}{KQ} = \frac{MP}{PQ} \quad (3)
\]

Theo (1) và (3), có thể suy ra:

\[
\frac{PK}{QK} = 1 \implies PQ = PK + QK
\]

Do đó, từ việc \( PQ = PK + QK \) và\(\frac{PK}{QK} = 1\), suy ra \( PK = QK \).

Vậy:

\[
QK = PK
\]

### 2. Chứng minh: Tứ giác \( MNPQ \) là hình thang cân

#### Giả thiết:
Ta đã chứng minh \( QK = PK \).

#### Chứng minh:
Khi \( K \) là điểm chung của hai tia phân giác \( MQ \) và \( NK \), từ giả thiết \( QK = PK \), ta có:

1. \( MP \) và \( NQ \) là hai cạnh tương ứng của một hình thang.
2. Vì \( QK = PK \), nên các điểm \( P, K, Q \) nằm trên một đường thẳng cắt.
3. Theo định nghĩa, \( MNPQ \) là một hình thang. Nếu \( MP = NQ \) và \( QK = PK \), nghĩa là cả hai cạnh nửa đường chéo \( MP \) và \( NQ \) bằng nhau.

Do đó, điểm \( M \) đối xứng với điểm \( N \) qua đường thẳng nối điểm \( P \) và điểm \( Q \). Điều này chứng tỏ rằng hình thang \( MNPQ \) là hình thang cân.

Kết luận: \( \Delta MNPQ \) là hình thang cân.

### Kết luận chung:
1. Ta đã chứng minh \( QK = PK \).
2. Tứ giác \( MNPQ \) là hình thang cân khi \( MP = NQ \).