Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng bước như sau:

### 1. Vẽ Parabol (P)
Hàm số \( y = -\frac{1}{4}x^2 \) là một parabol mở xuống, với đỉnh ở điểm (0, 0). Để vẽ đồ thị, ta có thể lấy một số giá trị của \( x \) để tìm \( y \):
- \( x = -4 \Rightarrow y = -4 \)
- \( x = -2 \Rightarrow y = -1 \)
- \( x = 0 \Rightarrow y = 0 \)
- \( x = 2 \Rightarrow y = -1 \)
- \( x = 4 \Rightarrow y = -4 \)

### 2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)
Đường thẳng được cho bởi \( y = mx - 2m - 1 \). Để (d) tiếp xúc (P), chúng ta sẽ tìm điều kiện để phương trình sau có một nghiệm duy nhất:

\[
-\frac{1}{4}x^2 = mx - 2m - 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
\frac{1}{4}x^2 + mx + (2m + 1) = 0
\]

Để phương trình này có đúng một nghiệm, điều kiện cần thiết là discriminant (\( D \)) bằng 0:

\[
D = m^2 - 4 * \frac{1}{4} * (2m + 1) = 0
\]

Giải phương trình này để tìm \( m \).

### 3. Tọa độ tiếp điểm
Sau khi tìm được giá trị của \( m \), ta thay vào phương trình trên để tìm tọa độ tiếp điểm (hệ số \( x \) trong phương trình bậc 2, lấy nghiệm).

### 4. Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định
Để tìm được điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta sẽ tìm giá trị của y tại x = 0 ([] là một điểm cụ thể) trong phương trình (d):

\[
y = m(0) - 2m - 1 = -2m - 1
\]

Vì \( m \) có thể thay đổi, nhưng với mối quan hệ giữa \( m \) và đường thẳng (d), bạn có thể thử nghiệm với các giá trị khác nhau của \( m \) để tìm điểm cố định mà (d) đi qua.

Cuối cùng, thực hiện vẽ đồ thị để kiểm tra tất cả các trường hợp và xác nhận tính đúng đắn của các điểm tiếp xúc và điểm cố định.