Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB = 12; AA ' = 24. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ' và A ' C '?

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AB' \) và \( A'C' \) trong hình lăng trụ đứng \( ABC.A'B'C' \), ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( B \) ở gốc tọa độ (0, 0, 0), \( A \) ở (12, 0, 0), và \( C \) ở (0, 12, 0).
- Điểm \( A' \) sẽ ở (12, 0, 24), \( B' \) ở (0, 0, 24), và \( C' \) ở (0, 12, 24).

2. **Thay tọa độ vào:**
- \( A (12, 0, 0) \)
- \( B (0, 0, 0) \)
- \( C (0, 12, 0) \)
- \( A' (12, 0, 24) \)
- \( B' (0, 0, 24) \)
- \( C' (0, 12, 24) \)

3. **Viết phương trình của hai đường thẳng:**
- Đường thẳng \( AB' \): Điểm A đến điểm \( B' \), có phương trình:
\[
\vec{r} = (12, 0, 0) + t(-12, 0, 24) \quad (t \in \mathbb{R})
\]
- Đường thẳng \( A'C' \): Điểm \( A' \) đến điểm \( C' \), có phương trình:
\[
\vec{r} = (12, 0, 24) + s(-12, 12, 0) \quad (s \in \mathbb{R})
\]

4. **Tính khoảng cách:**
- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian:
\[
d = \frac{|(\vec{b_2} - \vec{b_1}) \cdot (\vec{a_1} \times \vec{a_2})|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}
\]
- Ở đây:
- \( \vec{b_1} = (12, 0, 0) \) (điểm A)
- \( \vec{b_2} = (12, 0, 24) \) (điểm A')
- \( \vec{a_1} = (-12, 0, 24) \) (hướng của AB')
- \( \vec{a_2} = (-12, 12, 0) \) (hướng của A'C')

5. **Tính vector chéo:**
- \( \vec{a_1} \times \vec{a_2} \):
\[
\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-12 & 0 & 24 \\
-12 & 12 & 0
\end{vmatrix}
= (0 - 288)\hat{i} + (288 - 288)\hat{j} + (144 - 0)\hat{k}
= (-288, 0, 144)
\]

6. **Tính độ lớn:**
- Độ lớn \( |\vec{a_1} \times \vec{a_2}| = \sqrt{(-288)^2 + 0^2 + 144^2} = \sqrt{82944 + 20736} = \sqrt{103680} = 144\sqrt{5} \).

7. **Vector giữa hai điểm:**
- \( \vec{b_2} - \vec{b_1} = (12, 0, 24) - (12, 0, 0) = (0, 0, 24) \).

8. **Tính khoảng cách:**
- Tính \( |(0, 0, 24) \cdot (-288, 0, 144)| = |0 + 0 + 3456| = 3456 \).

9. **Khoảng cách:**
\[
d = \frac{3456}{144\sqrt{5}} = \frac{24}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{5}.
\]

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AB' \) và \( A'C' \) là \( \frac{24\sqrt{5}}{5} \) đơn vị.