Để chứng minh rằng \( CH = DK \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình tròn và tính chất của các đường vuông góc.

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( R \) là bán kính. Khi đó \( OA = OB = R \).

2. **Xét các tam giác vuông:**
- Tam giác \( OHA \) và tam giác \( OKB \) đều là tam giác vuông vì \( HA \perp CD \) và \( KB \perp CD \).

3. **Áp dụng định lý Pitago:**
- Trong tam giác vuông \( OHA \):
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2 \implies R^2 = OH^2 + CH^2
\]
- Trong tam giác vuông \( OKB \):
\[
OB^2 = OK^2 + BK^2 \implies R^2 = OK^2 + DK^2
\]

4. **Chú ý tới đoạn thẳng I:**
- Vì \( I \) là giao điểm của dây \( CD \) với đường kính \( AB \), nên \( OI \) là đường thẳng nối từ tâm đến \( I \) vuông góc với \( CD \) tại \( I \). Do đó, \( OI \) chia \( CD \) thành hai đoạn \( CH \) và \( DK \) mà có các tính chất đối xứng.

5. **So sánh các đoạn:**
- Từ hai tam giác vuông đã chứng minh, ta có:
\[
OH^2 + CH^2 = OK^2 + DK^2
\]
- Do \( OH = OK \) (vì đều là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) thì ta suy ra:
\[
CH^2 = DK^2
\]

6. **Kết luận:**
- Vậy \( CH = DK \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( CH = DK \).