Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần yêu cầu trong bài.

### a) Chứng minh B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.

1. **Lập các ký hiệu:**
- Gọi H là chân đường cao từ B hạ xuống cạnh AC.
- Gọi K là chân đường cao từ C hạ xuống cạnh AB.

2. **Xét các góc:**
- Từ định nghĩa, ta biết \( BH \perp AC \) và \( CK \perp AB \).
- Do đó, góc \( BHC \) và góc \( BKC \) đều là 90 độ.

3. **Sử dụng định lý về vị trí của các điểm cùng nằm trên một đường tròn:**
- Ta có \( \angle BHC = \angle BKC = 90^\circ \).
- Điều này cho thấy điểm H nằm trên đường tròn đường kính BC theo định lý Thales.

4. **Kết luận:**
- Vì \( \angle BHC \) và \( \angle BKC \) đều là góc vuông, ta kết luận rằng bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh HK < BC.

1. **Xét đoạn thẳng HK và BC:**
- Đoạn thẳng HK là khoảng cách giữa hai chân đường cao H và K.
- Đoạn thẳng BC là cạnh của tam giác ABC.

2. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác:**
- Trong tam giác BHC và CKH, ta có \( HK \) là cạnh đối diện với góc \( BHC \) và \( BKC \), và đây là các góc vuông.
- Bất đẳng thức trong tam giác phát biểu rằng cạnh đối diện với một góc lớn hơn sẽ luôn nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại. Ở đây, chúng ta xem xét góc \( BHC \) và \( BKC \) đều là góc 90 độ.

3. **Kết luận:**
- Do đó, ta có \( HK < BC \).

Vậy là chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.