Để tính độ dài các đoạn thẳng \(AB\), \(BH\), \(AC\), và \(BC\) trong tam giác \(ABC\) với các số liệu đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính bậc của góc \(A\):**
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ = 105^\circ
\]

2. **Sử dụng định lý sin để tìm các cạnh:**
Theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \(a\) là cạnh \(BC\)
- \(b\) là cạnh \(AC\)
- \(c\) là cạnh \(AB\)

Đầu tiên, ta tính chiều dài của đoạn \(BH\):
\[
BH = AH \cdot \tan B = 6 \cdot \tan(40^\circ) \approx 6 \cdot 0.8391 \approx 5.0346 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài của \(AB\) và \(AC\)**:
\[
AB = AH \cdot \cot B = 6 \cdot \cot(40^\circ) \approx 6 \cdot 1.1918 \approx 7.1508 \text{ cm}
\]
\[
AC = AH \cdot \cot C = 6 \cdot \cot(35^\circ) \approx 6 \cdot 1.4281 \approx 8.5686 \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài đoạn \(BC\)**:
Áp dụng định lý sin để tính độ dài \(BC\):
\[
BC = \frac{c \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{7.1508 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)} \approx 7.1508 \cdot 0.6428 \approx 4.5904 \text{ cm}
\]

5. **Tổng hợp kết quả**:
- \(AB \approx 7.2 \, \text{cm}\) (làm tròn đến hàng phần mười)
- \(BH \approx 5.0 \, \text{cm}\)
- \(AC \approx 8.6 \, \text{cm}\)
- \(BC \approx 4.6 \, \text{cm}\)

Kết quả thu được là:
- \(AB \approx 7.2 \, \text{cm}\)
- \(BH \approx 5.0 \, \text{cm}\)
- \(AC \approx 8.6 \, \text{cm}\)
- \(BC \approx 4.6 \, \text{cm}\)