Cho ΔABC cân tại A (góc A < 90°); điểm N trên cạnh BC. Kẻ NP // AC và NQ // AB (P ∈ AB, Q ∈ AC). a) Chứng minh tứ giác APNQ là hình bình hành; b) Chứng minh ΔNQC cân. So sánh NP + NQ với AC

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác APNQ là hình bình hành:

**Chứng minh:**

- Ta có \( NP \parallel AC \) và \( NQ \parallel AB \).
- Theo định nghĩa của hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện phải song song (hoặc bằng nhau).

Do đó, ta có:

1. \( NP \parallel AC \)
2. \( NQ \parallel AB \)

- Vì \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh của tam giác \( ABC \), nên \( AP \) và \( AQ \) lần lượt là các đoạn thẳng nối từ \( A \) đến các đường song song với các cạnh bên của tam giác.

Theo tính chất của các đường song song, ta có:

- \( AP = NQ \) (cạnh đối diện)
- \( AQ = NP \) (cạnh đối diện)

Vậy nên, tứ giác \( APNQ \) có hai cặp cạnh đối diện song song, do đó \( APNQ \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh ΔNQC cân. So sánh NP + NQ với AC:

**Chứng minh:**

- Trong tam giác \( NQC \), ta đã biết rằng:

1. \( NP \parallel AC \)
2. \( NQ \parallel AB \)

Gọi \( m = \text{góc NQC} \) và \( n = \text{góc NQP} \):

- Do \( NP \parallel AC \) và \( NQ \parallel AB \), ta có \( \angle NQC = \angle BAC \).
- Từ đây suy ra \( \angle NQC = \angle NQP \).

Vậy \( ΔNQC \) có hai góc bằng nhau, suy ra \( NQ = NC \) (công thức của tam giác cân).

**So sánh NP + NQ với AC:**

- Vì \( NP \parallel AC \), ta có \( NP < AC \).
- Tương tự, \( NQ < AB \).
- Khi cộng hai bất đẳng thức này lại, ta có \( NP + NQ < AC + AB \).

### c) Vẽ đường cao CK của ΔABC. Chứng minh:

Theo định nghĩa, đường cao CK sẽ vuông góc với cạnh AB. Ta cần chứng minh được rằng:

\[
AB^2 + BC^2 + CA^2 = BK^2 + 2AK^2 + 3CK^2
\]

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras cho từng tam giác. Tuy nhiên, cách giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc xác định vị trí của điểm K.

### Kết luận:

- Đã chứng minh tứ giác APNQ là hình bình hành và tam giác NQC là tam giác cân.
- So sánh hai đoạn thẳng NP + NQ với AC cũng đã được thực hiện.

Cần thêm thông tin nếu bạn cần giải phần nào cụ thể hơn hay có yêu cầu khác.