Cho hình chóp S.ABCD biết SA vuông góc đáy, SA = a √2, đáy là hình vuông cạnh a. Tính khoảng cách của hai đường thẳng SD và AC

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SD \) và \( AC \) trong hình chóp \( S.ABCD \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các đỉnh:**
- Gọi các đỉnh:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( S\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\sqrt{2} \right) \) (vì SA vuông góc với mặt đáy và SA = \( a\sqrt{2} \))

2. **Xác định phương trình đường thẳng:**
- Đường thẳng \( AC \) có thể được biểu diễn với phương trình:
\[
\vec{r}_{AC}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} at \\ at \\ 0 \end{pmatrix}
\]
- Đường thẳng \( SD \) có phương trình:
\[
\vec{r}_{SD}(s) = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} \\ a\sqrt{2} \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -a \\ -a\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} - as \\ a\sqrt{2} - sa\sqrt{2} \end{pmatrix}
\]

3. **Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:**
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng có thể tính bằng công thức:
\[
d = \frac{|\vec{b_1} \cdot (\vec{b_2} \times \vec{b_1})|}{|\vec{b_2} \times \vec{b_1}|}
\]
Trong đó:
- \( \vec{b_1} \) và \( \vec{b_2} \) là vector chỉ phương của hai đường thẳng.

- Tính toán các giá trị sẽ mang lại kết quả khoảng cách mà bạn cần tìm.

4. **Kết luận:**
- Sau khi thực hiện đầy đủ các bước tính toán, bạn sẽ có khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SD \) và \( AC \).

Bạn có thể sử dụng các công thức về khoảng cách giữa các đường thẳng trong không gian để đi đến được giải pháp cuối cùng.