Để giải bài toán hình học này, ta sẽ dùng các tính chất của hình tròn và tiếp tuyến. Cụ thể, ta sẽ chứng minh từng phần như sau:

### a) Chứng minh điểm O, A, B, N cùng thuộc một đường tròn.

- Ta biết rằng O là tâm của đường tròn (O) và AB là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Do đó, OA vuông góc với AB.
- Điểm N là điểm tiếp xúc với đường tròn (O) tại M, tức là NM là tiếp tuyến tại M.
- Theo định lý hình học, khi O, A, B cùng thuộc một đường tròn thì góc OAB phải bằng 90 độ.
- Đến đây, ta khẳng định rằng O, A, B, N thuộc một đường tròn khi O là tâm và AB và AN vuông góc.

### b) Chứng minh OB = AN.

- Ta có OA vuông góc với AB, và AN cũng vuông góc với NX qua B. Do đó, tam giác OAB vuông tại A.
- Từ định lý Pitago, chúng ta có:
\[
OB^2 = OA^2 + AB^2
\]
tương tự cho AN:
\[
AN^2 = AB^2 + OA^2
\]
- Suy ra OB = AN, vì cả hai đoạn này được tạo thành từ cùng một tam giác ở vị trí phù hợp.

### c) Chứng minh B là trung điểm của NC.

- Vẽ đoạn thẳng NC, và theo tính chất của đường tròn, ta có N, C là hai điểm trên đường tròn và B là điểm trên tiếp tuyến cắt với NC.
- Mỗi đường kính của một đường tròn sẽ chia đường tròn thành hai phần đối xứng.
- Do N và C là hai điểm trên đường tròn, đặc biệt có đường kính NC đi qua O, ta có thể kết luận rằng B nằm chính giữa N và C vì B là tiếp điểm trên tiếp tuyến qua A.

Sau khi thực hiện các bước chứng minh trên, ta đã xác định được tất cả các phần yêu cầu của bài toán.