Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

### a) Tính độ dài đoạn thẳng MH, biết AC = 10 cm.

Ta biết rằng AH là trung tuyến từ đỉnh A, và M là trung điểm của đoạn BC. Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên đoạn BM = MC.

Do đó, ta có thể tính độ dài của đoạn MH như sau:

- Đường trung tuyến AH chia AC thành hai đoạn bằng nhau. Vậy:
- \( AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMH:
- \( AH^2 = AM^2 + MH^2 \).

Chúng ta cần tính AH. Để tìm AH, chúng ta sử dụng công thức:
- \( AH = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} \).

Biết rằng \( AB = AC = 10 \) cm, và \( BC = 10 \) cm (do tam giác đều), ta có:
- \( BM = \frac{BC}{2} = 5 \) cm.

Bây giờ, ta thay vào công thức tính AH:
- \( AH = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) cm.

Sau đó, tính độ dài MH:
- \( 5\sqrt{3} = 5 + MH \Rightarrow MH = 5\sqrt{3} - 5 \).

### b) Gọi N là điểm đối xứng với G qua M. Chứng minh tứ giác AGBN là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AGBN là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng \( AG \parallel BN \) và \( AB \parallel GN \).

Do \( N \) là điểm đối xứng với \( G \) qua \( M \), nên \( MG = MG \) và \( AM = MN \).

### c) Gọi I là giao điểm của HM và AN. Chứng minh rằng AI = 3NI.

Để chứng minh, ta xét tam giác ANH và sử dụng tính chất của giao điểm, trung điểm cùng với tỉ lệ:
- Có thể sử dụng định lý phân giác để thấy rằng \( AI : NI = 3 : 1 \).

Tóm lại, mỗi phần có thể giải quyết bằng cách hình dung hình vẽ và tính toán theo các định lý hình học cơ bản.