Để phương trình \( 5 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) - m = 0 \) có nghiệm, ta cần điều kiện sau:

\[
5 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) = m
\]

Do đó, \( m \) phải nằm trong khoảng giá trị mà \( 5 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \) có thể nhận. Giá trị của \( \cos \) có thể nằm trong đoạn \([-1, 1]\), do đó:

\[
5 \cdot (-1) \leq 5 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \leq 5 \cdot 1
\]

Điều này dẫn đến:

\[
-5 \leq m \leq 5
\]

Vì chúng ta đang tìm kiếm số nguyên dương \( m \), ta chỉ quan tâm đến các số nguyên trong khoảng từ 1 đến 5.

Các giá trị này là:

\[
m = 1, 2, 3, 4, 5
\]

Vậy tổng cộng có 5 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đó.

**Kết luận:** Có 5 số nguyên dương \( m \) để phương trình có nghiệm.