Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \( y = \cos(2x) \) và \( y = -1 \) trong khoảng \( x \in (\pi, 3\pi) \), chúng ta cần giải phương trình sau:

\[
\cos(2x) = -1
\]

Hàm số \( \cos(2x) \) bằng -1 khi \( 2x = \frac{(2k+1)\pi}{2} \) với \( k \) là một số nguyên.

Giải phương trình này, ta có:

\[
2x = \frac{(2k+1)\pi}{2} \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{4}
\]

Bây giờ, chúng ta cần xác định các giá trị của \( k \) sao cho \( x \) nằm trong khoảng \( (\pi, 3\pi) \).

Từ bất phương trình:

\[
\pi < \frac{(2k+1)\pi}{4} < 3\pi
\]

Chia tất cả các vế cho \( \pi \):

\[
1 < \frac{2k+1}{4} < 3
\]

Nhân tất cả các vế với 4:

\[
4 < 2k + 1 < 12
\]

Giải bất phương trình này:

1. Bất phương trình bên trái:
\[
2k + 1 > 4 \implies 2k > 3 \implies k > 1.5 \implies k \geq 2
\]

2. Bất phương trình bên phải:
\[
2k + 1 < 12 \implies 2k < 11 \implies k < 5.5 \implies k \leq 5
\]

Vậy \( k \) có thể nhận các giá trị từ 2 đến 5. Cụ thể, các giá trị của \( k \) là \( 2, 3, 4, 5 \).

Tính các giá trị tương ứng của \( x \):

- Với \( k = 2 \):
\[
x = \frac{(2 \cdot 2 + 1)\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
\]

- Với \( k = 3 \):
\[
x = \frac{(2 \cdot 3 + 1)\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}
\]

- Với \( k = 4 \):
\[
x = \frac{(2 \cdot 4 + 1)\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}
\]

- Với \( k = 5 \):
\[
x = \frac{(2 \cdot 5 + 1)\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}
\]

Như vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện là:

1. \( \frac{5\pi}{4} \)
2. \( \frac{7\pi}{4} \)
3. \( \frac{9\pi}{4} \)
4. \( \frac{11\pi}{4} \)

Kết luận, có **4 giao điểm** của đồ thị hàm số \( y = \cos(2x) \) và \( y = -1 \) trong khoảng \( x \in (\pi, 3\pi) \).