Để giải phương trình \( -\sin x = \frac{1}{2} \), ta có thể viết lại như sau:

\[
\sin x = -\frac{1}{2}
\]

Ta biết rằng \(\sin x = -\frac{1}{2}\) tại các góc \(x\) trong các phần của vòng tròn lượng giác nằm ở các góc \(210^{\circ}\) (hoặc \(\frac{7\pi}{6}\) radian) và \(330^{\circ}\) (hoặc \(\frac{11\pi}{6}\) radian). Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình này là:

\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải phương trình thứ hai:

\[
\sin^4 x - \cos^4 x = 1
\]

Ta có thể sử dụng công thức chênh lệch bình phương:

\[
a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
\]

Với \(a = \sin^2 x\) và \(b = \cos^2 x\), ta có:

\[
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1)
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\sin^2 x - \cos^2 x = 1
\]

Sử dụng định lý lượng giác, ta biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Từ đó, ta thay \(\cos^2 x\) bằng \(1 - \sin^2 x\):

\[
\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 1
\]
\[
\sin^2 x - 1 + \sin^2 x = 1
\]
\[
2\sin^2 x - 1 = 1
\]
\[
2\sin^2 x = 2
\]
\[
\sin^2 x = 1
\]

Vì vậy:

\[
\sin x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = -1
\]

Nghiệm tổng quát cho \(\sin x = 1\) là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Nghiệm tổng quát cho \(\sin x = -1\) là:

\[
x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Tóm lại, nghiệm của hệ phương trình gồm:

1. Nghiệm của \( -\sin x = \frac{1}{2} \):
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi
\]

2. Nghiệm của \( \sin^4 x - \cos^4 x = 1 \):
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi
\]